2021長(zhǎng)安大學(xué)609數(shù)學(xué)分析研究生考試大綱 正文

609數(shù)學(xué)分析考試內(nèi)容范圍
 
1． 實(shí)數(shù)集與函數(shù)：實(shí)數(shù)及其性質(zhì)，絕對(duì)值與不等式，區(qū)間與鄰域，有界集與確界原理，函數(shù)的定義、表示及四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，初等函數(shù)，有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)和偶函數(shù)，周期函數(shù)；
2． 數(shù)列的極限：函數(shù)的極限的概念、性質(zhì)和存在的條件；
3． 函數(shù)的極限：函數(shù)的極限的概念、性質(zhì)和存在的條件，兩個(gè)重要極限，無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的概念、階的比較，曲線的漸近線；
4． 函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)的連續(xù)性的概念、性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性；
5． 導(dǎo)數(shù)和微分：導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)法則，參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)，微分的概念、運(yùn)算法則，高階微分，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；
6． 微分中值定理及其應(yīng)用：拉格朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性，柯西中值定理和不定式極限，帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式、帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式及在近似計(jì)算中的應(yīng)用，函數(shù)的極值與最值，函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)，函數(shù)的圖象；
7． 實(shí)數(shù)的完備性：區(qū)間套定理與柯西收斂準(zhǔn)則，聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明；
8． 不定積分：不定積分的概念與基本積分公式，不定積分換元積分法與分步積分法，有理函數(shù)的不定積分，三角函數(shù)有理式的不定積分，某些無(wú)理根式的不定積分；
9． 定積分：定積分的概念，牛頓——萊布尼茲公式，可積的條件，定積分的的基本性質(zhì)，積分中值定理，變限積分與原函數(shù)的存在性，定積分的換元積分法與分步積分法，泰勒公式的積分型余項(xiàng)；
10. 定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積，由平行截面面積求體積，平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率，旋轉(zhuǎn)曲面的面積，液體靜壓力、引力、功與平均功率的計(jì)算；
11．反常積分：反常積分的概念，無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別，瑕積分的性質(zhì)與收斂判別；
12．?dāng)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)的收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則，比式判別法、根式判別法和積分判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)及性質(zhì)，阿貝爾判別法和狄利克雷判別法；
13．函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：函數(shù)列及其一致收斂性，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別法，一致收斂性函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)；
14．冪級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間、性質(zhì)及運(yùn)算，泰勒級(jí)數(shù)，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式；
15．傅立葉級(jí)數(shù)：三角級(jí)數(shù)，正交函數(shù)系，以2為周期的傅立葉級(jí)數(shù)，以2為周期的傅立葉級(jí)數(shù)，奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)，收斂定理及證明；
16．多元函數(shù)的極限與連續(xù)：平面點(diǎn)集，R²上的完備性定理，二元函數(shù)，n元函數(shù)，二元函數(shù)的極限，累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性概念，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；
17．多元函數(shù)微分學(xué)：可微性與全微分，偏導(dǎo)數(shù)，可微性的條件、幾何意義及應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的全微分，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，中值定理與泰勒公式，極值問(wèn)題；
18．隱函數(shù)定理及其應(yīng)用：隱函數(shù)的概念、存在條件，隱函數(shù)定理，隱函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)組的概念，隱函數(shù)組定理，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，條件極值；
19．含參量積分：含參量正常積分，含參量反常積分的一致收斂性及其判別法，含參量反常積分的性質(zhì)，歐拉積分；
20．曲線積分：第一型曲線積分的定義與計(jì)算，第二型曲線積分的定義與計(jì)算；兩類曲線積分的聯(lián)系；
21．重積分：二重積分的定義、存在性及性質(zhì)，直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，格林公式，曲線積分與路線無(wú)關(guān)性，二重積分的變量變換公式，極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，三重積分的概念，化三重積分為累次積分，三重積分換元法，曲面的面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及引力的計(jì)算；
22．曲面積分：第一型曲面積分的定義與計(jì)算，第二型曲面積分的定義與計(jì)算；兩類曲面積分的聯(lián)系，高斯公式與斯托克斯公式。
 
本課程參考教材：《數(shù)學(xué)分析》（第三版）（上、下冊(cè)），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。

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