泛函分析

 

    一、考查目標

 

    泛函分析是數學專業(yè)的基礎課。它形成于20世紀30年代，是從變分問題，積分方程和理論物理的研究中發(fā)展起來的。它綜合運用函數論，幾何學，現代數學的觀點來研究無限維向量空間上的泛函，算子和極限理論。泛函分析可以看作無限維向量空間的解析幾何及數學分析，是學習現代數學必不可少理論基礎，為學習現代數學，特別是偏微分方程，概率論，計算數學等學科分支提供了強有力的研究方法。

 

    二、試卷結構

 

    1、題型結構

 

    名詞解釋（30分）、簡答題（30分）、證明題（40分），共計100分。

 

    4、內容結構

 

    度量空間和賦范線性空間（25%）、有界線性算子和連續(xù)線性泛函（15%）、內積空間和希爾伯特(Hilbert)空間（25%）、巴拿赫空間中的基本定理（20%）、線性算子的譜（15%）。

 

    三、考試內容和要求

 

    1、度量空間和賦范線性空間

 

    度量空間定義及例子，度量空間中的極限、稠密集、可分空間，連續(xù)映射，完備度量空間，壓縮映射原理及其應用，賦范線性空間和巴拿赫空間定義與例子。

 

    2、有界線性算子和連續(xù)線性泛函

 

    有界線性算子和連續(xù)線性泛函的定義與例子；有界線性算子空間和共軛空間的定義與例子。

 

    3、內積空間和希爾伯特(Hilbert)空間

 

    內積空間的定義與例子，投影定理，希爾伯特空間中的規(guī)范正交系，希爾伯特空間上的連續(xù)線性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。

 

    4、巴拿赫空間中的基本定理

 

    泛函延拓定理及其應用，C[a，b]的共軛空間，共軛算子，綱定理和一致有界性定理，強收斂、弱收斂和一致收斂的定義及例子，逆算子定理，閉圖像定理

 

    5、線性算子的譜

 

    譜的概念及例子，有界線性算子譜的基本性質，緊集和全連續(xù)算子的譜，自伴全連續(xù)算子的譜論。

 

    四、推薦書目：

 

    1、程其襄，張奠宙，魏國強等編著，《實變函數與泛函分析基礎，第三版》，高等教育出版社，2010.

 

    2、汪林編著，《泛函分析中的反例》,高等教育出版社，2014.

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