浙江理工大學

    2021年碩士學位研究生招生考試業(yè)務課考試大綱

    考試科目：高等數(shù)學代碼：602

    一、基本要求：

    要求考生系統(tǒng)掌握高等數(shù)學學科的基本知識、基礎理論和基本方法，并能運用相關理論和方法分析、解決有關問題。

    二、范圍與要求：

    第一章函數(shù)與極限

    1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數(shù)關系式。

    2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。

    3.理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

    4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的基本概念。

    5.理解極限的概念、函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限存在之間的關系。

    6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則、極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

    7.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。

    8.理解函數(shù)連續(xù)性的概念，掌握函數(shù)間斷點的類型的判別方法。了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質(zhì)。

    第二章導數(shù)與微分

    1.理解導數(shù)和微分的概念和關系、導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程。

    2.了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。

    3.掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

    4.了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)、分段函數(shù)的二階導數(shù)。

    5.會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù)。

    第三章微分中值定理與導數(shù)的應用

    1.理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解柯西中值定理。

    2.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法、函數(shù)最大值和最小值的求

    法及其簡單應用。

    3.用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。

    4.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

    5.了解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

    第四章不定積分

    1.理解原函數(shù)、不定積分概念和性質(zhì)。

    2.掌握不定積分的基本公式、換元積分法與分部積分法。

    3.會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的積分。

    第五章定積分

    1.理解定積分的概念和性質(zhì)。

    2.了解積分上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓—萊布尼茨公式。

    3.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

    4.了解無窮限的反常積分和無界函數(shù)的反常積分的概念并會求反常積分。

    第六章定積分的應用

    1.理解定積分的元素法的基本思想。

    2.掌握用定積分計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力）及函數(shù)的平均值。

    第七章微分方程

    1.理解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

    2.掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法。

    3.會解二階常系數(shù)齊次線性微分方程。了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會解非齊次項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

    第八章向量代數(shù)與空間解析幾何

    1.理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。

    2.掌握向量的運算(線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積)，了解兩個向量垂直、平行的條件。

    3.理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。

    4.掌握平面方程和直線方程及其求法。

    5.會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系(平行、垂直、相交等)解決有關問題。

    6.會求點到直線以及點到平面的距離。

    7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念。

    8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

    9.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求該投影曲線的方程。

    第九章多元函數(shù)微分法及其應用

    1.理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。

    2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    3.理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

    4.理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法。

    5.掌握多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法。

    6.了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)。

    7.了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

    8.了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

    9.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

    第十章重積分

    1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。

    2.掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，會計算三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標)。

    3.會用重積分求一些幾何量與物理量(曲頂柱體的體積、平面薄片的質(zhì)量、曲面面積、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等)。

    第十一章曲線積分與曲面積分

    1.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關系。

    2.掌握計算兩類曲線積分的方法。

    3.掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)。

    4.了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分。

    5.了解散度與旋度的概念，并會計算。

    6.會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、形心、功及流量等)。

    第十二章無窮級數(shù)

    1.理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.

    2.掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

    3.掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。

    4.掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。

    5.了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。

    6.了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

    7.理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

    8.了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。

    9.了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

    10.掌握泰勒級數(shù)的麥克勞林(Maclaurin)展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

    11.了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的表達式。

    三、試卷題型

    填空題：10小題，每小題4分，共40分

    計算、應用、證明題：10題，每題10-12分，共110分

    參考書目：

    《高等數(shù)學（第七版）》,同濟大學數(shù)學系，高等教育出版社,2014年,

    ISBN：9787040396638，9787040396621

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