2021中國海洋大學(xué)F1101綜合考試研究生考試大綱 正文

F1101綜合考試

（包含①實(shí)變函數(shù)、②計(jì)算方法、③常微分方程）
閉卷考試，滿分為100分，其中實(shí)變函數(shù)40%、計(jì)算方法30%、常微分方程30%?？荚嚂r(shí)間：120分鐘。復(fù)試內(nèi)容大綱如下：
①實(shí)變函數(shù)
一、考試性質(zhì)
實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試復(fù)試筆試科目。
二、考察目標(biāo)
實(shí)變函數(shù)是近代分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)分析的延續(xù)與拓廣?？荚囈钥疾旎局R為主，考核對重要定理的理解和應(yīng)用。旨在測試考生對集合論、可測集、可測函數(shù)、可積函數(shù)等基本定義概念的理解和掌握。要求考生理解實(shí)變函數(shù)的基本概念和基本理論；掌握其基本論證方法和常用結(jié)論；具備較強(qiáng)的邏輯推理能力及初步的應(yīng)用能力。
三、考試形式
閉卷考試，本部分滿分為40分。
試卷結(jié)構(gòu)：客觀題和簡答題約占50%，證明題約占50%。
四、考試內(nèi)容
（一）集合論
1.集合的各種運(yùn)算，上、下限集的定義
2.集合的對等，集合的基數(shù)，集合的可列性；
3.開集、閉集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性質(zhì)；點(diǎn)集的內(nèi)部、導(dǎo)集、閉包、邊界；Cantor三分集的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)；
4.點(diǎn)到集合的距離，集合間的距離。
（二）可測集
1.外測度、測度和可測集的概念及其性質(zhì)，集合可測性的判別方法；
2.開集、閉集的可測性，以及它們與可測集之間的聯(lián)系。
（三）可測函數(shù)
1.可測函數(shù)的概念及其性質(zhì)；
2.函數(shù)可測性的判別方法，其與簡單函數(shù)的聯(lián)系；
3.可測函數(shù)列幾種收斂性之間的關(guān)系（包括處處收斂、幾乎處處收斂、一致收斂、近一致收斂、測度收斂）；
4.可測函數(shù)和連續(xù)函數(shù)的聯(lián)系
5.葉果洛夫（Egoroff）定理、里斯(Riesz)定理、魯津(Rusin)定理的含義及應(yīng)用；
（四）Lebesgue積分
1.Lebesgue積分的定義及其性質(zhì)，函數(shù)可積性的判定；
2.積分收斂定理（勒維(Levi)定理，法杜(Fatou)定理和Lebesgue控制收斂定理，Vitali定理）及應(yīng)用；
3.Riemann積分與Lebesgue積分之間的區(qū)別和聯(lián)系； Fubini定理。
五、是否需使用計(jì)算器
否。
 
②計(jì)算方法
一、考試性質(zhì)
計(jì)算方法是數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試復(fù)試筆試科目。
二、考察目標(biāo)
要求考生理解數(shù)值計(jì)算的基本方法及基本理論，掌握基本數(shù)值方法的理論分析技巧, 具有把數(shù)學(xué)問題近似求解和編程實(shí)現(xiàn)能力。本科目主要考查考生對計(jì)算數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的掌握及考生的基本數(shù)值分析能力。從如下三方面測評考生的計(jì)算數(shù)學(xué)基本素質(zhì)：
1.基本概念和基本理論
2.基本數(shù)值方法的構(gòu)建及分析
3.綜合算法分析及應(yīng)用
三、考試形式
閉卷考試，本部分滿分為30分。
試卷結(jié)構(gòu)：
數(shù)值逼近的基本內(nèi)容約占40%；
代數(shù)方程的數(shù)值方法及分析約占40%；
微分方程數(shù)值解法及分析約占20%。
四、考試內(nèi)容
（一）數(shù)值逼近基礎(chǔ)
1．誤差（誤差來源，誤差限，有效數(shù)字，誤差傳播，避免誤差的注意事項(xiàng)）
2．插值法（Lagrange插值，Hermite插值，分段插值，分段Hermite插值, 樣條插值，數(shù)值微分）
3．?dāng)?shù)據(jù)擬合法（最小二乘原理，多變量擬合，正交多項(xiàng)式擬合）
4．?dāng)?shù)值積分（梯形、Simpson公式及誤差估計(jì)，復(fù)化公式及誤差估計(jì)，加速公式與Romberg求積，Gauss型公式等）
（二）代數(shù)方程數(shù)值方法
1．線性方程組的直接法 (高斯消去法、主元消去法、矩陣分解法、誤差分析)
2．線性方程組的迭代法 (幾種常用迭代法收斂性及誤差估計(jì)、判別收斂的條件、收斂速率)
3．矩陣特征值和特征向量的計(jì)算 (冪法、反冪法、QR算法、Jacobi方法)
4．非線性代數(shù)方程的解法 (對分區(qū)間法、迭代法、迭代收斂的加速、Newton法、弦位法、拋物線法、最速下降法)
（三）微分方程數(shù)值方法
1．常微分方程的數(shù)值解法（幾種簡單的數(shù)值解法、R-K方法、線性多步法、預(yù)估校正公式、自動(dòng)選取步長及事后估計(jì)）
2．偏微分方程的差分解法（差分格式的建立、收斂性、穩(wěn)定性、高維問題的交替方向法）
五、是否需使用計(jì)算器
否。

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